Gráficos de Control p, de fracción defectuosa, por Macario Hernández Garza

p-chart

Por Macario Hernández Garza

Gráficos de control p, de fracción defectuosa

Los datos de atributos no pueden ser medidos en una escala continua y consisten de valores tales como: (bueno/malo), (pasa/no pasa), y en otros contextos, (malo/regular/bueno/muy bueno), etc.

Entenderemos por defecto una característica de calidad no aceptable en un artículo.

Y por defectuoso un artículo que tenga uno o más defectos.

Si tenemos un proceso que está produciendo ciertos artículos y tenemos antecedentes de que la probabilidad de que el proceso produzca un artículo defectuoso de ese tipo es p.

Luego si tenemos una muestra independiente de tamaño n, la probabilidad de que haya d artículos defectuosos en la muestra viene dada por la distribución binomial, es decir:

Carta p fig1

Tenemos que la media y varianza de esta distribución, vienen dadas por:

Carta p fig 2

Por otra parte, un estimador de la fracción defectuosa de la población basado en la muestra es d/n, es decir, el cociente del número de defectuosos en la muestra, dividido por el tamaño de la muestra.

Carta p fig 3

Por otra parte tenemos que el valor esperado o media, y la varianza de este estimador, vienen dados por:

Carta p fig 4

Suponiendo que tenemos m muestras de tamaño n, los estimadores de la fracción defectuosa y la fracción defectuosa de las m muestras se podrán calcular de la siguiente manera:

Carta p fig 6

Límites de control basados en los valores muestrales

De esta manera los límites de control para el gráfico p, para la fracción defectuosa, basados en los valores muestrales, serán los siguientes:

Límites de control basados en valores estándar

Por otra parte, si se conoce el valor estándar p, podemos calcular los límites con respecto a este valor, sustituyendo el valor de ec7 en las ecuaciones anteriores, por el valor estándar p.

Gráfico de control p de fracción defectuosa, con muestras de tamaño variable

En ocasiones cuando se trata de construir el gráfico de control p de fracción defectuosa, se considera el total de la producción, de una hora, un turno o de un día, como una muestra y como esta es variable en general, nos quedan muestras de tamaño variable.

Los fundamentos teóricos en que se basa

  • el gráfico de control de fracción defectuosa p,
  • con tamaño de muestra variable,

son los mismos fundamentos del gráfico de control p para un tamaño de muestra constante.

De la misma manera, los límites de control para el gráfico p con tamaño de muestra variable, se derivan de los límites de control del gráfico p con tamaño constante.

En el post anterior, donde se trata la teoría básica para la construcción de este tipo de gráficos de control para un tamaño de muestra constante n.

Vimos que los límites de control para este caso es:

Carta p fig 6

Ahora, si tenemos que los tamaños de muestra en lugar de ser constante, son variables, solamente tenemos que sustituir en la ecuación anterior, el valor de n, por el valor de cada muestra particular ni.

Límites de control basados en los valores muestrales

(a) Los límites de control de muestras de tamaño variable serían:

Carta p fig 7

Donde:

Carta p fig 8

Límites de control basados en los valores estándar

(b) Si se conoce el valor estándar de p, podemos calcular los límites de control con base en el valor de p, sustituyendo este valor, en lugar de  pbarraec7 en las fórmulas anteriores.

Ahora veremos un ejemplo de este tipo de gráfico de control.

En la siguiente figura tenemos los datos de 24 muestras de producto producido por turno:

  • En la columna Producción tenemos el total de producto fabricado por turno.
  • La columna Producto Defectuoso nos indica el número de artículos defectuosos por turno;
  • la columna Número de Defectos nos indica el número de defectos encontrados en la producción de cada turno, nótese que por cada turno el número de defectos es mayor o igual que el número de defectuosos, ya que un artículo defectuoso puede tener uno o más defectos.
  • Finalmente tenemos la columna de Fracción Defectuosa, la fracción defectuosa de un turno se calcula dividiendo el número de productos defectuosos por la producción de ese turno, es decir, los valores de la columna D divididos por los valores de la columna C.

Carta p fig 10

Como recordaremos de un post anterior, los límites de control de un gráfico de fracción defectuosa con tamaño de muestra variable vienen dado por la siguiente fórmula:

Carta p fig 11

Mientras que la fracción defectuosa se p barra, se calcula con la siguiente fórmula:

Carta p fig 12

Ahora bien de las ecuaciones de la Figura 2, vemos que para calcular estos límites necesitamos el valor p barra, que es una estimación de la fracción defectuosa y ni, que es el tamaño de muestra de cada turno.

Es decir, tendremos límites de control de diferentes tamaños, debido a que los tamaños de muestra son variables.

El valor de p barra es entonces:

Carta p fig 13

Entonces tenemos ya el valor de p barra y los valores de ni, los cuales son los artículos producidos en cada turno (tamaño de muestra), cuyos valores se muestran en la columna C de la Figura 1.

Ya con esto, calculamos los límites de control con las fórmulas de la Figura 1.

Los valores se muestran en las columnas K, L y M de la siguiente figura.

Carta p fig 14

Por otra parte, en la columna J, de la figura anterior, tenemos la fracción defectuosa de cada muestra o turno, está se calcula para cada turno, dividiendo el número de defectuosos del turno por el total de artículos producidos.

Con los valores de las cuatro columnas de la Figura 4, podemos construir el gráfico de control.

Reitero que en un post anterior que se encuentra aquí, se muestra como se puede hacer este gráfico de control.

Con los datos de la Figura 4, el gráfico de control nos quedaría así:

chart4

Figura 5


DESCARGA DE ARCHIVO:

Si usted desea descargar este archivo de ejemplo dé clic en la siguiente liga:

Descargar GráficoDeControlPV.xls

Si la liga(link) no funciona favor de comunicar al email: macariohg@gmail.com, gracias.


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Usted puede leer este artículo en su publicacion original en:

Ejemplo: Gráfico de Control p, o de fracción defectuosa (Tamaño de muestra variable)

Esta y muchas otras notas interesantes en el blog

Optimización y Estadística (SOE SC)

¡Muchas gracias!


Acerca del autor:  Macario Hernández Garza

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